题目内容
设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1），且f（x）的最小值为3，若f（x）≤5，求x的取值范围．
解：因为|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，…（3分）
所以|a-4|=3，即a=7或a=1…（5分）
由a＞1知a=7； …（6分）
∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，
①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；
③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
综上3≤x≤8，
故答案为：3≤x≤8． …（10分）
分析：利用不等式的性质对|x-4|+|x-a|进行放缩，求出其用a表示的最小值，因为f（x）的最小值为3，从而求出a值，把f（x）代入f（x）≤5，然后进行分类讨论求解．
点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．
所以|a-4|=3，即a=7或a=1…（5分）
由a＞1知a=7； …（6分）
∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，
①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；
③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
综上3≤x≤8，
故答案为：3≤x≤8． …（10分）
分析：利用不等式的性质对|x-4|+|x-a|进行放缩，求出其用a表示的最小值，因为f（x）的最小值为3，从而求出a值，把f（x）代入f（x）≤5，然后进行分类讨论求解．
点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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