Question

（2012•香洲区模拟）定义函数fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N
（1）求f₃（x）的极值点；
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[k-a，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f3(x)=(1+x)3-1，知f3′(x)=3(1+x)2，由此能求出f₃（x）的极值点．
（2）f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，则g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]．由此利用导数性质能够证明f_n（x）≥nx．
（3）由h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，知h′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），令h′（x）=0，得x=-1，x=-

1

3

．由此利用分类讨论思想能求出知k的最小值及本应的[a，0]．

解答：解：（1）∵函数fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N，
∴f3(x)=(1+x)3-1，
∴f3′(x)=3(1+x)2，
令f3′(x)=0 ，得x=-1，
∵定义域（-2，+∞），∴列表讨论，得：

x	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

∴x=-1为极小值点，无极大值点．…（3分）
（2）证明：f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，
令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，
则g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]．
令g′（x）=0，得x=0．…（5分）
当x∈（-2，-1）时，-1＜1+x＜0，n为奇数时，（1+x）ⁿ＜1；
当x∈[-1，0）时，0≤+x＜1，0＜（1+x）ⁿ＜1，
∴x∈（-2，0）时，（1+x）ⁿ＜1，故g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]＜0，
函数g（x）单调递减；
而x∈（0，+∞），（1+x）ⁿ＞1，故g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]＞0，
函数g（x）单调递增；
∴g（x）在x=0处取得最小值g（0）=0．
∴g（x）≥0，即f_n（x）≥nx．（当且仅当x=0时取等号）．…10
（3）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，

h′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h′（x）=0，得x=-1，x=-

1

3

．
∴当x∈（-2，-1）时，h′（x）＞0；
当x∈（-1，-

1

3

）时，h′（x）＜0；
当x∈（-

1

3

，+∞）时，h′（x）＞0．故h（x）的草图如图所示．
在-

1

3

≤a＜0时，h（x）_min=h（a）=ka，∴k=（1+a）²≥

4

9

．
②在-

4

3

≤a≤-

1

3

时，h（x）_min=h（-

1

3

）=-

4

27

=ka，y=-

4

27a

，

1

9

≤k≤

4

9

，
③在a≤-

4

3

时，h（x）_min=h（a）=a（1+a）²=ka．
∴k=（1+a）²≥

1

9

，a=-

4

3

时取等号．
综上讨论可知k的最小值为

1

9

，此时[a，0]=[-

4

3

，0]．…（14分）

点评：本题考查函数的极值点的求法，考查不等式的证明，考查最小值的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．