题目内容
一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f（i，j）．（1）若数表中第i （1≤i≤n-3）行的数依次成等差数列，
求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）关于i的表达式；
（3）在（2）的条件下，若f（i，1）=（i+1）（ai-1），bi=
| 1 |
| aiai+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）易知数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），再由等差数列定义证明；
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai进而求得bi，令g（i）=2i，求得sn放缩探求．
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai进而求得bi，令g（i）=2i，求得sn放缩探求．
解答：解：（1）数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），
则由题意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）（4分）
（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的数依次成等差数列，
由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推，
可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列．
设第i行的数公差为di，则di+1=2di，则di=d1×2i-1=4×2i-1=2i+1
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2i
=2[2f（i-2，1）+2i-1]+2i=22f（i-2，1）+2×2i
=2i-1f（1，1）+（i-1）×2i=2i-1×4+（i-1）×2i=2i+1+（i-1）×2i=（i+1）×2i（10分）
（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai=
+1=2i+1
所以bi=
=
=
(
-
)
令g（i）=2i，则big(i)=
-
，所以Sn=
-
＜
要使得Sn＞m，即
-
＞m，只要
＜
-m=
，
∵m∈(
，
)，∴0＜1-3m＜
，所以只要2n+1+1＞
，
即只要n＞log2(
-1)-1，所以可以令λ=log2(
-1)-1
则当n＞λ时，都有Sn＞m．所以适合题设的一个函数为g（x）=2x（16分）
则由题意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）（4分）
（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的数依次成等差数列，
由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推，
可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列．
设第i行的数公差为di，则di+1=2di，则di=d1×2i-1=4×2i-1=2i+1
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2i
=2[2f（i-2，1）+2i-1]+2i=22f（i-2，1）+2×2i
=2i-1f（1，1）+（i-1）×2i=2i-1×4+（i-1）×2i=2i+1+（i-1）×2i=（i+1）×2i（10分）
（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai=
| f(i，1) |
| i+1 |
所以bi=
| 1 |
| aiai+1 |
| 1 |
| (2i+1)(2i+1+1) |
| 1 |
| 2i |
| 1 |
| 2i+1 |
| 1 |
| 2i+1+1 |
令g（i）=2i，则big(i)=
| 1 |
| 2i+1 |
| 1 |
| 2i+1+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
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要使得Sn＞m，即
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| 3 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1-3m |
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∵m∈(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 1-3m |
即只要n＞log2(
| 3 |
| 1-3m |
| 3 |
| 1-3m |
则当n＞λ时，都有Sn＞m．所以适合题设的一个函数为g（x）=2x（16分）
点评：本题通过数表考查等差数列的通项公式及定义．
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，
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