题目内容

数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（1）求S₁，S₂，S₃并猜想S_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．

解：（1）当n≥2 时， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，故可得 $\text{[math]}$ ，猜想： $\text{[math]}$ ．
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N^*）时，结论成立，即 $\text{[math]}$ ．
当n=k+1时， $\text{[math]}$ ，
故结论当n=k+1时也成立．由①②知，结论对一切的n∈N^*成立．
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，可求 S₁= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，猜想： $\text{[math]}$ ．
（2）①检验当n=1时结论成立，②假设 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得结论当n=k+1时也成立，由①②知，结论对一切的n∈N^*成立．
点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明 $\text{[math]}$ 是解题的难点．

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（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁，x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N^*，a_n=f（n），则f（2010）=（　　）

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得bn=

(an+t)(n∈N*)，且{b_n}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

）．又数列{a_n}满足，a₁=

．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-

，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

设函数f（x）的定义域为R，f(x)=

，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

(n∈N*)；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式

(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．