Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所  在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，

（1）求证：BG⊥平面PAD；

（2）求证：AD⊥PB；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.

Answer 1

证明略

解析:

（1）在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BG⊥平面PAD.

（2）连接PG，因为△PAD为正三角形，

G为AD的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，

PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，

所以AD⊥平面PGB，因为PB平面PGB，

所以AD⊥PB.

（3）  当F为PC的中点时，

满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：

取PC的中点F，连接DE、EF、DF，

在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，

GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，

EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，

因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG

又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD.