Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．
（1）求证：M为PC中点；
（2）求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）做出辅助线，连接AC与BD交于G，则平面PAC∩平面BDM=MG，根据面面平行得到线线平行，根据一个点是中点，得到另一个点是中点．
（2）先证出OA，OP，OB两两垂直，以O为原点

OA

，

OB

，

OP

分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两个平面的法向量的坐标，根据向量的夹角的大小得到结果．

解答：解：（1）证明：连接AC与BD交于G，则平面PAC∩平面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG，
∵底面ABCD是菱形，
∴G为AC中点，
∴MG为△PAC中位线，
∴M为PC中点．
（2）取AD中点O，连接PO，BO，
∵△PAD是正三角形，
∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB，
∴OA，OP，OB两两垂直，以O为原点

OA

，

OB

，

OP

分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D（-1，0，0），P(0，0，

3

)，
∴

DP

=(1，0，

3

)，

AB

=(-1，

3

，0)，
∴

DM

=

1

2

(

DP

+

DC

)=

1

2

(

DP

+

AB

)=(0，

3

2

，

3

2

)，

BP

=(0，-

3

，-

3

)，

CB

=

DA

=(2，0，0)，
∴

DM

•

BP

=0-

3

2

+

3

2

=0，

DM

•

CB

=0+0+0=0，
∴DM⊥BP，DM⊥CB，
∴DM⊥平面PBC，
∴cos＜

OP

，

DM

＞=

2

2

平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小为

π

4

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度，这是新课标高考卷中必出的一种题目．