Question

17．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AC=2，AA₁=3，点M是B₁C₁的中点．
（1）求证：AB₁∥平面A₁MC；
（2）求点B到平面A₁MC的距离．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的坐标系，求出平面A₁MC的法向量，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，证明$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0，可得AB₁∥平面A₁MC；
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（（-2，-3，0），利用向量的方法求出点B到平面A₁MC的距离．

解答 （1）证明：由题意，建立如图所示的坐标系，则
A（1，0，0），B₁（-1，3，0），A₁（1，3，0），M（-$\frac{1}{2}$，3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，0，$\sqrt{3}$）
设平面A₁MC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，-3，$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-x-3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，3，0），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0，
∴AB₁∥平面A₁MC；
（2）解：∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（（-2，-3，0）
∴点B到平面A₁MC的距离$\frac{|-2-2|}{\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判定定理和点B到平面A₁MC的距离，体现了转化的思想．属于中档题．