Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）
（I）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式S_n．

Answer 1

分析：（I）根据题意可求得c_n=c_n-1+2，进而根据等差数列的定义可推断出{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为2的等差数列，进而求得其通项公式．
（II）令d_n=a_n-b_n，则可知dn=

1

2

dn-1(n≥2)进而推断出{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，则其通项公式可求，进而根据a_n-b_n和a_n+b_n的表达式，联立方程求得a_n，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得答案．

解答：解：（I）由题设得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2）
易知{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1
（II）解：由题设得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)、
易知{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，通项公式为dn=

1

2n-1

由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，
求和得Sn=-

1

2n

+

n2

2

+n+1

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．