Question

设双曲线C₁的方程为（a＞0，b＞0），A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C₁上的任意一点，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分别为A、B，AQ与BQ交于点Q．
（1）求Q点的轨迹C₂方程；
（2）设C₁、C₂的离心率分别为e₁、e₂，当时，求e₂的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求Q点的轨迹C₂方程，设Q（x，y），即求出Q点的坐标之间的关系式，再设P（x，y），A（-a，0），B（a，0），利用QB⊥PB，QA⊥PA，直线的斜率之积为-1，即可建立Q点的坐标之间的关系式，从而得出Q点的轨迹C₂方程；
（2）由（1）得C₂的方程为，利用其几何性质求出离心率，得出与e₁的关系式，最后根据e₁的范围即可得出e₂的取值范围．
解答：解：（1）如图，设P（x，y），Q（x，y），A（-a，0），B（a，0），QB⊥PB，QA⊥PA，
∴
两式相乘得：①
∵，∴=，代入①得b²y²=x²a²-a⁴，即a²x²-b²y²=a⁴．
经检验，点（-a，0），（a，0）不合题意，因此Q点的轨迹方程是a²x²-b²y²=a⁴（点（-a，0），（a，0）除外）．
（2）由（1）得C₂的方程为.，
∵，∴e≤1+=2，
∴1＜e≤．
点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、直线垂直的条件、不等式、点的轨迹方程等基本知识，考查化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．