Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）•e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=f（x）-t（t∈R，a＞2），若函数g（x）在[-3，+∞）上有三个零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）f^′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x=（x+2）（x+a）e^x．
①当a=2时，f^′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增；
②当a≠2时，令f^′（x）=0，解得x=-2或-a．
不妨令x₁＜x₂，（x₁是-2与-a两个数中较小的一个，x₂是另一个）．列表如下：
当a＜2时，-a＞-2，取x₁=-2，x₂=-a，其单调区间如表格，其极大值为f（-2）=（4-a）e^-2，
极小值为f（-a）=ae^-a．
当a＞2时，-a＜-2，取x₁=-a，x₂=-2，其单调区间如表格，其极小值为f（-2）=（4-a）e^-2，
极大值为f（-a）=ae^-a．
（2）当a＞2时，利用（1）的结论画出图象：
f（-3）=（9-2a）e^-3，又f（-3）-f（-2）=，由于a＞2，且，
∴①当2＜a≤时，f（-3）≤f（-2），∴f（-2）＜t＜f（-a）时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象有三个交点，即函数y=g（x）有三个零点；
②当时，f（-3）＞f（-2），∴f（-3）≤t＜f（-a）时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象有三个交点，即函数y=g（x）有三个零点；
③当a≥3时，函数y=f（x）（x∈[-3，+∞））的图象与y=t的图象至多有三个交点，即函数y=g（x）至多有两个零点．
综上可知：①当2＜a≤时，t∈（（4-a）e^-2，ae^-a）时，函数g（x）有三个零点；
②当时，t∈（（9-2a）e^-3，ae^-a）时，函数g（x）有三个零点；
③当a≥3时，则不存在满足题意的实数t．
分析：（1）先求导，通过对a与2比较讨论即可得出其单调区间及极值；
（2）利用（1）画出图象，通过对a分类讨论及比较f（-3）与f（-2）的大小即可求出t的取值范围．
点评：熟练利用导数得出其单调区间与极值并画出图象和应用分类讨论的思想方法是解题的关键．