Question

【题目】已知动点到两点，的距离之和为4，点在轴上的射影是C，.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）1

【解析】

（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点的轨迹方程是，设点坐标为，由所以点的坐标为，代入即可求解.

（2）若轴，求得；若直线不与轴垂直，设直线的方程为，根据圆的弦长公式，求得，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得的表达式，代入化简，即可求解.

（1）设，

因为点到两点的距离之和为4，即

可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

所以，即，且，则，

所以点的轨迹方程是.

设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，

化简得点的轨迹方程为.

（2）若轴，则，.

若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，

则坐标原点到直线的距离，

.

设.将代入，并化简得，

.

，.

，

当且仅当即时，等号成立.

综上所述，最大值为1.