Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC₁上一点，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明GE∥侧面AA₁B₁B，可在平面AA₁B₁B内找到一条与EG平行的直线，根据G为底面三角形的重心，而E点满足
BE=

1

3

BC1，延长B₁E交BC于一点F，利用三角形相似得到F为BC的中点，说明A、G、F三点共线，连结GE，根据平行线截线段成比例定理得到GE∥AB₁，从而得到要证的结论；
（2）根据侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，直接过B₁作B₁H⊥AB的延长线于H，垂足为H，然后过H作HT⊥AF的延长线于T，垂足为T，连B₁T，由此得到∠B₁TH为所求二面角的平面角，然后通过解直角三角形求二面角的大小．

解答：（1）证明：如图，
连结B₁E并延长延长B₁E交BC于F，∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=

1

2

EC₁
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，从而F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线，且

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，∴GE∥AB₁，
又GE?侧面AA₁B₁B，∴GE∥侧面AA₁B₁B
（2）解：如图，
在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB的延长线于H，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

．
在底面ABC内，过H作HT⊥AF的延长线于T，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，
又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，∴∠B₁TH为所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=

B1H

HT

=

2 3

3

，
从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan

2 3

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，利用三角形的中位线平行于底边及利用平行线截线段成比例定理是证明线面平行常用的方法，此题是中档题．