Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，记S_n为数列{b_n}的前n项和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整数），求证：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：设 的公差为d，由，知，（）
（1）因为
所以

所以。
（2）
由
所以
解得或
但
所以
因为i是正整数，
所以是整数，即q是整数，
设数列中任意一项为
设数列中某一项=
现在只要证明存在正整数m，使得，即在方程m中有正整数解即可，
所以
若，则
那么
当时，因为
只要考虑的情况
因为
所以
因此q是正整数，
所以m是正整数，
因此数列中任意一项为与数列的第项相等，
从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有

设
所以
令
则
∵
所以
所以（舍去负值）
即存在使得中有三项成等差数列。