题目内容

设
1
m
+
2
n
=1（m、n均正），则当m+n取得最小值时，椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1的离心率为
2
2
2
2
．
分析：先利用基本不等式求出当m+n取得最小值时m和n 的值，从而得到椭圆的标准方程，由方程求得椭圆的离心率．
解答：解：∵已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，
∴m+n=（
1
m
+
2
n
）（m+n）=1+2+
2m
n
+
n
m
≥3+2
2

当且仅当
2m
n
=
n
m
，即 m=
2
+1，n=
2
+2时，等号成立．
此时，c=
2
+1，
∴e=
c
n
=
2
2
，
故答案为：
2
2
．
点评：本题考查基本不等式的应用和椭圆的简单性质的应用，本题解题的关键是正确利用基本不等式来做出m，n的值．本题是一个基础题．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n（n=1，2，3…），{bn}满足b1=1，bn+1=bn+
b
2
n
n
（n=1，2，3…），求证：
1
2
≤
n
k=1
1
ak+1bk+kak+1-bk-k
＜1．
（Ⅱ）已知数列{an}满足：a1=1且2an-3an-1=
1
2n-2
（n≥2）．设m∈N+，m≥n≥2，证明（an+
1
2n
） 
1
m
（m-n+1）≤
m2-1
m
．
函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b=2n，n∈N*)的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列{an}前n项和为Sn，满足4Snf(
1
an
)=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设g(m，n)=
1
m
+
1
m+1
+…+
1
n
，是否存在m1，，n1，m2，n2∈N*，使得ln2011∈（g（m1，n1），g（m2，n2））？若存在，求出m1，，n1，m2，n2，证明结论；若不存在，说明理由．

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