Question

（Ⅰ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n=1，2，3…），{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+

b 2 n

n

（n=1，2，3…），求证：

1

2

≤

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

＜1．
（Ⅱ）已知数列{a_n}满足：a₁=1且2a_n-3a_n-1=

1

2n-2

（n≥2）．设m∈N₊，m≥n≥2，证明（a_n+

1

2n

） 

1

m

（m-n+1）≤

m2-1

m

．

Answer 1

分析：（I）记In=

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

，则I1=

1

2

＜I2＜＜In．而In=

n

k=1

1

(ak+1-1)(bk+k)

≤

n k=1 1 ak+1-1 • n k=1 1 bk+k

．从而有

n

k=1

1

ak+1-1

=

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1．由bk+1=bk+

b 2 k

k

=

bk(bk+k)

k

，知

1

bk+1

=

k

bk(bk+k)

=

1

bk

-

1

bk+k

，从而有

n

k=1

1

bk+k

=

1

b1

-

1

bn+1

≤

1

b1

=1．所以

1

2

≤

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

＜1．
（II）设an+

x

2n

=

3

2

(an-1+

x

2n-1

)(n≤2)，an=

3

2

an-1+

c

2n-1

与an=

3

2

an-1+

1

2n-1

比较系数得c=1．由此入手能够证明（a_n+

1

2n

）^

1

m

（m-n+1）≤

m2-1

m

．

解答：解：（I）证明：记In=

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

，则I1=

1

2

＜I2＜＜In．（2分）
而In=

n

k=1

1

(ak+1-1)(bk+k)

≤

n k=1 1 ak+1-1 • n k=1 1 bk+k

．（4分）
因为a₁=1，a_n+1=a_n+2n，所以a_k+1-1=k（k+1）．（5分）
从而有

n

k=1

1

ak+1-1

=

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1．①
又因为bk+1=bk+

b 2 k

k

=

bk(bk+k)

k

，所以

1

bk+1

=

k

bk(bk+k)

=

1

bk

-

1

bk+k

，
即

1

bk+k

=

1

bk

-

1

bk+1

．从而有

n

k=1

1

bk+k

=

1

b1

-

1

bn+1

≤

1

b1

=1．②（6分）
由（1）和（2）即得I_n＜1．综合得到

1

2

≤In＜1．
左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立．（7分）
（II）不妨设an+

x

2n

=

3

2

(an-1+

x

2n-1

)(n≤2)即an=

3

2

an-1+

c

2n-1

与an=

3

2

an-1+

1

2n-1

比较系数得c=1．
即an+

1

2n

=(

3

2

)nan+

1

2n

=

3

2

(an-1+

1

2n-1

)
又a1+

1

2

=

3

2

，故{an+

1

2n

}是首项为

3

2

公比为

3

2

的等比数列，
故an=(

3

2

)n-

1

2n

（10分）
这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题．综合性较强．
即证（

3

2

)

n

m

(m-n+1)≤

m2-1

m

，当m=n时显然成立．易验证当且仅当m=n=2时，等号成立．
设bn=(

3

2

)

n

m

(m-n+1)下面先研究其单调性．当m＞n时，

bn bn+1 =( 3 2 )- 1 m ( m-n+1 m-n )=( 3 2 )- 1 m (1+ 1 m-n )， ∴( bn bn+1 )m=( 3 2 )-1(1+ 1 m-n )m＞ 2 3 (1+m• 1 m )= 4 3 ＞1∴bn＞bn+1

（12分）
即数列{b_n}是递减数列．因为n≥2，故只须证b2≤

m2-1

m

，即证(

3

2

)

2

m

≤

m+1

m

．事实上，(

m+1

m

)m＞1+Cm^ •

1

m

+Cm2•

1

m2

=

5

2

-

1

2m

＞

9

4

故上不等式成立．综上，原不等式成立．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．