Question

记函数y=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为f（a）．
（1）求f（a）的表达式；
（2）若f(a)=

1

2

，求y=1-2a-2acosx-2sin²x的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，化简函数的表达式，配方为2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1，利用三角函数的有界性，求f（a）的表达式；
（2）通过f(a)=

1

2

，求出a的值，然后直接求y=1-2a-2acosx-2sin²x的最大值．

解答：解：（1）y=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1其中cosx∈[-1，1]（2分）
当

a

2

≤-1即a≤-2时，（令t=cosx，函数的对称轴t=

a

2

）．y在t∈[-1，1]单调递增，t=cosx=-1，y_min=1 （1分）
当-1＜

a

2

≤1即-2＜a≤2时，cosx=

a

2

，ymin=-

a2

2

-2a-1（1分）
当

a

2

＞1即a＞2时，y在[-1，1]单调递减，cosx=1，y_min=-4a+1 （1分）
∴f(a)=

1 a≤-2 - a2 2 -2a-1 -2＜a≤2 -4a+1 a＞2

（1分）
（2）当-2＜a≤2时，f(a)=-

a2

2

-2a-1=

1

2

⇒a=-1或a=-3（舍）   （2分）
当a＞2时，f(a)=-4a+1=

1

2

⇒a=

1

8

（舍）∴a=-1（1分）
此时，y=2cos2x+2cosx+1=2(cosx+

1

2

)2+

1

2

，其中cosx∈[-1，1]（2分）
当cosx=1时，y_max=5（1分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，最小值的求法，考查计算能力，转化思想，函数与方程的思想的应用．