Question

已知a＞0，函数f（x）=

1-ax

x

，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜

2

a

，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤

1

a

； ②若0＜x₁＜

1

a

，则x₁＜x₂＜2x₁．

Answer 1

分析：（1）通过求解函数的导函数，利用函数导数的几何意义求直线方程是解决本题的关键，注意点斜式方程的运用；
（2）首先求出l与x轴交点，然后运用作差比较法证明①，注意二次问题配方法的应用，将②进行等价变形是解决本题的关键，注意对两根进行综合变形和转化、作差法比较大小的运用．

解答：解：（1）依题知，得：f′（x）=-

1

x2

，根据点斜式可得l的方程为y-

1-ax1

x1

=-

1

x 2 1

(x-x1)，
整理得直线l的方程是 

1

x 2 1

x+y-

2-ax1

x1

=0．
（2）证明：由（1）得 x₂=x₁（2-ax₁）
①由于 0＜x₁＜

2

a

，所以ax₁＜2，x₂=x₁（2-ax₁）＞0
又x₂-

1

a

=x₁（2-ax₁）-

1

a

=

a2 x 2 1 -2ax1+1

a

=

(ax1-1)2

a

≤0，所以，0＜x₂≤

1

a

；
②因为 x₂-x₁=x₁（2-ax₁）-x₁=x₁-ax₁²=x₁（1-ax₁），且0＜x₁＜

1

a

，，所以1-ax₁＞0，即x₁＜x₂．
又x₂-2x₁=x₁（2-ax₁）-2x₁=-ax₁²＜0，所以 x₂＜2x₁，
故当0＜x₁＜

1

a

，则x₁＜x₂＜2x₁．

点评：本题考查函数导数的几何意义，考查学生运用导数求切线方程斜率的思想和意识，考查学生运用点斜式写直线方程的基本功；考查学生等价转化的思想，考查学生运用作差法比较大小的基本思想，注意不等式的工具作用．