Question

设当x=θ时，函数f(x)=sinx-

3

cosx取得最大值，则cosθ=

-

3

2

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式化简可得f（x）=2sin（x-

π

3

），结合正弦函数的图象与性质算出：当x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）时，函数有最大值为2．由此得到θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），进而根据诱导公式算出cosθ的值．

解答：解：函数f(x)=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）
=2（sinxcos

π

3

-

3

2

cos

π

3

）=2sin（x-

π

3

）．
∴当x-

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z）时，即x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）时，函数有最大值为2．
又∵当x=θ时，f（x）有最大值，∴θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），
可得cosθ=cos（

5π

6

+2kπ）=cos

5π

6

=cos（π-

π

6

）=-cos

π

6

=-

3

2

．
故答案为：-

3

2

点评：本题已知三角函数的表达式，求当函数取得最大值时，相应的x值．着重考查了三角恒等变换、正弦函数的图象与性质、利用诱导公式求特殊的三角函数值等知识，属于中档题．