Question

设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），由f′（1）=0即可求得a值；
（2）在函数定义域内先判断函数f（x）的单调性，由此得其极值点

1

a

，按极值点与区间[1，2]的位置关系分三种情况讨论：①当0＜

1

a

≤1，②当1＜

1

a

＜2，③当

1

a

≥2，借助单调性即可求得其最大值；

解答：解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．    
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
经检验，a=1符合题意．
（2）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．
令f′（x）=0得x=

1

a

．因为x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）上递增，在（

1

a

，+∞）上递减，
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，f（x）在（1，

1

a

）上递增，在（ 

1

a

，2）上递减，
所以x=

1

a

时，f（x）取最大值f（

1

a

）=-lna-1；
③当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
综上，①当0＜a≤

1

2

时，f（x）最大值为ln2-2a；②当

1

2

＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1．
③当a≥1时，f（x）最大值为-a．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．