Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定义域．
（2）求g（x）的导函数g'（x），然后分别对g'（x）＞0以及g'（x）＜0两种情况进行讨论．继而求得g（x）的单调区间
（3）根据（2）的结论，按照g（x）的单调性，证明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即为结论．

解答：解：（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，
要使g（x）有意义，则

x＞0 m-x＞2

，
那么g（x）的定义域为{x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=ln

x

m-x

由g'（x）＞0，得

x

m-x

＞1，
解得：

m

2

＜x＜m
由g'（x）＜0
得：0＜

x

m-x

＜1
解得：0＜x＜

m

2

∴g（x）在[

m

2

，m)上为增函数，
在(0，

m

2

}上为减函数
（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
则g（x）=f（x）+f（a+b-x）
则g（x）在[

a+b

2

，a+b）上为增函数，
在(0，

a+b

2

]上为减函数．
∴g（x）的最小值为：
g（

a+b

2

）=f（

a+b

2

）+f（a+b-

a+b

2

）=2f（

a+b

2

）
=（a+b）ln

a+b

2

=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（

a+b

2

）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

点评：本题考查不等式的证明，函数的定义域及其求法，函数单调性及其应用，以及对数函数的定义域．通过对知识的灵活运用，考查对知识的理解与认知．属于中档题．