Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为

3

2

，若函数g（x）=

1

3

x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解　（1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；
②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
③当a=0时，f（x）=-3，f（x）不是单调函数，无单调区间．
（2）由题意知，f′（4）=-

3a

4

=

3

2

，得a=-2，则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=

1

3

x3+x2(2-

2

x

+

m

2

)=

1

3

x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，即

1+(m+4)-2＜0 32+3(m+4)-2＞0

解得-

19

3

＜m＜-3．
故m的取值范围是（-

19

3

，-3）．