Question

【题目】设函数（）

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）求单调区间；

（Ⅲ）若图象与轴关于， 两点，求证： .

Answer 1

【答案】（1）切线为；（2）时在单增， 时在单减， 单增；（3）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时， 因此切点为，求出利用点斜式可求切线方程；

（Ⅱ）求导，分类讨论可得单调区间；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，此时在在单减， 单增，

设而，因此，经讨论可知本题即证，即证，构造函数（）讨论其性质即可得

试题解析：（Ⅰ） ， 因此切点为，

，因此，因此切线为.

（Ⅱ）

时在单增，

时在单减， 单增.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，此时在在单减， 单增，

设而，因此

本题即证，而，∴， .

即证，即证，

设

（）

因此在单增，由于可得即，

由于因此

∵， ， 在单增，

∴，∴，

∴