Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0，q≠1），则“q=-1”是“数列{a_n}是等比数列”的（　　）

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先求出a₁的值，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1进而可判定n≥2时，{a_n}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{a_n}是等比数列，从而{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；反之，q=-1时，当p=0或p=-1时，{a_n}不是等比数列；利用充要条件的定义得到结论．

解答：解：当n=1时，a₁=S₁=p+q；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
当p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，
则

a2

a1

=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，
即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
反之，q=-1时，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，
因为p=1时，{a_n}不是等比数列
所以“q=-1”是“数列{a_n}为等比数列”的必要不充分条件．
故选B．

点评：本题主要考查等比数列的充要条件，考查基础知识的综合运用．属于中档题．