题目内容

已知：α、β∈(0，
π
2
)，且
cos2α
sin2β
+
sin2α
cos2β
=1．求证：α+β=
π
2
．
分析：先将条件中1转化为sin2α+cos2α，再移到同一侧提出公因式得到两个非负数的和为0，再由两角和的余弦公式可得α+β的余弦值，最后根据α、β的范围确定答案．
解答：证明：∵
cos2α
sin2β
+
sin2α
cos2β
=1=sin2α+cos2α
∴cos2α(
1
sin2β
-1)+sin2α(
1
cos2β
-1)=0
∴cos2α •
cos2β
sin2β
+sin2α•
sin2β
cos2β
=0
两个非负数的和为0，则有cosacosβ=0，sinasinβ=0
∴cos（α+β）=cosacosβ-sinasinβ=0
∵α、β∈(0，
π
2
)，∴α+β=
π
2
．得证．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用与两角和与差的余弦公式的应用．三角函数部分公式比较多容易记混，故要强化记忆．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-
12
时，解不等式f（ax+4）＞-1．
已知集合A={x|0≤x≤4}，集合B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f分别为：
①f：x→
1
2
x    ②f：x→x-2    ③f：x→
x
④f：x→|x-2|
其中构成映射关系的对应法则是
 
（将所有答案的序号均填在横线上）．
已知点A（0，b），B为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左准线与x轴的交点．若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为
 
．
（2007广州市水平测试）已知cosθ=
3
5
， θ∈(0， 
π
2
)，求sinθ及sin(θ+
π
4
)的值．
已知集合A={x|0≤x≤4}，则下列对应关系中不能构成定义域和值域都是A的函数的是（　　）
A、y=4-x
B、y=
4
9
（x-1）2
C、y=|x|
D、y=
1
2
（x-4）2

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