Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为．

（1）求，；

（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；

（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．

Answer 1

【答案】（1），；（2）0；（3）证明见解析

【解析】

（1）由已知可得，，求出，可得的方程组，求解即可；

（2）先求出的负根，进而求出切线方程，求出函数，进而求出单调区间，即可得出结论；

（3）根据（2）可得的图像在的上方，同理可证出的图像也在以的另一零点为切点的切线上方，求出与两切线交点的横坐标为，则有，即可证明结论.

（1）将代入切线方程中，

得，所以，

又或，

又，

所以，

若，则（舍去）；

所以，则；

（2）由（1）可知，，

所以，

令，有或，

故曲线与轴负半轴的唯一交点为

曲线在点处的切线方程为，

则，

因为，

所以，

所以，．

若，，

若，，，

所以.

若，，

，

，所以在上单调递增，

，函数在上单调递增．

当时，取得极小值，也是最小值，

所以最小值．

（3），设的根为，

则，又单调递减，

由（2）知恒成立．

又，所以，

设曲线在点处的切线方程为，则，

令，

．

当时，，

当时，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即，

设的根为，则，

又函数单调递增，故，故．

又，所以．