Question

已知点A，B的坐标分别是（0，–1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为．

(1)    求点M的轨迹C的方程；

(2)    过D（2，0）的直线l与轨迹C有两不同的交点时，求l的斜率的取值范围；

(3)    若过点D（2，0）的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求与面积之比的取值范围（O为坐标原点）.

Answer 1

解：(1) 设点的坐标为，

∵，∴．                             ……2分

整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．············· 4分

(2) 由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） ①

将①代入，得（*）

由，解得．····························· 8分

 (3) 由（*）式得

设，，则     ②      ……9分

令，则，即，

即，

且                          ………………………………10分

由②得，

即

．                …………12分

且 且．

解得且 ，且．

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．···················· 14分