Question

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项．求|z|．

Answer 1

分析：本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．

解答：解：设z=（rcos60°+rsin60°），
则复数z的实部为

r

2

．z-

.

z

=r，z

.

z

=r2
由题设|z-1|²=|z|•|z-2|，
即：（z-1）（

.

z

-1）=|z|

(z-2)(  . z -2)

∴r²-r+1=r

r2-2r+4

，
整理得r²+2r-1=0．
解得r=

2

-1，
r=-

2

-1（舍去）．
即|z|=

2

-1．

点评：解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．