Question

（本小题满分12分）
设为实数，且
（1）求方程的解；
（2）若，满足，试写出与的等量关系（至少写出两个）；
（3）在（2）的基础上，证明在这一关系中存在满足.

Answer 1

（1）；（2），；
（3）方程存在的根.

试题分析：（1）由得，所以
（2）结合函数图像，由可判断 ，

从而，从而
又，
因为，所以
从而由 
可得，
从而
（3）由 
得
令，
因为，根据零点存在性定理可知，
函数在内一定存在零点，
即方程存在的根.
点评：典型题，对数函数是重要函数之一，因此，对对数函数的图象和性质的考查较为多见。本题将对数函数与函数零点问题结合在一起进行考查，体现了考查到灵活性。（2）小题是一道开放性题目，颇具新意。