Question

已知各项均不相同的等差数列{a_n}的前四项和S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{

1

an•an+1

}的前n项和，求T₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设公差为d，由S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=n+1，知

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此能求出T₂₀₁₂的值．

解答：解：（Ⅰ）设公差为d，
∵S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，…（4分）
解得d=0（舍）或d=1，所以a₁=2，
故a_n=n+1．…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=n+1，
∴

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，…（12分）
所以T₂₀₁₂=

503

1007

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．