Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD,..

(1)求证：平面PAB丄平面PCD
(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer 1

(1) 见解析 (2)

试题分析：(1)欲证平面平面,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可，考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系，易证：,从而平面；
(2)作，垂足为，连结；可证≌是的中点,
从而求得四棱锥的高,进一步求得四棱锥的体积.
试题解析：（Ⅰ）因为四棱锥的底面是矩形，所以，
又侧面底面，所以．
又，即，而，所以平面．
因为PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．                     4分

（Ⅱ）如图，作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．
连结OB，OC，则PO⊥OB，PO⊥OC．
因为PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以OB＝OC．
依题意，ABCD是边长为2的正方形，由此知O是AD的中点．          7分
在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．
在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1．                          10分
故四棱锥P-ABCD的体积V＝AB2·PO＝．