Question

已知函数f（x）=4^x+a•4^-x是偶数，
（1）求a的值；
（2）若F（x）=，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据f（-x）=f（x），即可求出a的值；
（2）先求出F（x）=的解析式，再利用定义证明其单调性即可．
解答：解：（1）∵函数f（x）=4^x+a•4^-x是偶数，
∴f（-x）=f（x），
即a•4^x+4^-x=4^x+a•4^-x⇒a=1．
（2）由（1）得：，以下证明F（x）在R上为单调递减函数：
设x₁＜x₂，∵
易知：x₁＜x₂，
∴F（x₁）＞F（x₂）
因此，F（x）在R上为单调递减函数．
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合问题．一般在知道单调性求参数的值时，可以用定义来求，也可以采用特殊值法．