题目内容
已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的单调性（不要求证明），并求f（1）的值；
（Ⅱ）k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式f(
| kx+3 | ||
|
| 1 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）先利用偶函数的图象特点判断出f（x）在[0，+∞）上的单调性；再利用赋值法把1代入即可求出f（1）的值；
（Ⅱ）利用偶函数的性质以及f（1）的值，可以先把f(
)＞
转化为f(
)＞f(1)，进而得到，
＞1⇒（1-k2）x2-6kx＜0；再对二此项系数进行讨论即可解不等式．
（Ⅱ）利用偶函数的性质以及f（1）的值，可以先把f(
| kx+3 | ||
|
| 1 |
| 2 |
| |kx+3| | ||
|
| |kx+3| | ||
|
解答：解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f(x)+f(
)=-1+2log2(x2+
)，
∴f（1）+f（1）=-1+2log2（1+1）=1，
∴f(1)=
．
（Ⅱ）因为f（x）是偶函数，所以f(
)=f(
)，
不等式就是f(
)＞f(1)，∵f（x）在[0，+∞）上递增，∴
＞1∴|kx+3|＞
，
k2x2+6kx+9＞x2+9．∴（1-k2）x2-6kx＜0，
①若k=0，则x2＜0，∴不等式解集为?；
②若-1＜k＜0，则
＜x＜0，∴不等式解集为(
，0)；
③若0＜k＜1，则0＜x＜
，∴不等式解集为(0，
)．
∵f(x)+f(
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
∴f（1）+f（1）=-1+2log2（1+1）=1，
∴f(1)=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）因为f（x）是偶函数，所以f(
| kx+3 | ||
|
| |kx+3| | ||
|
不等式就是f(
| |kx+3| | ||
|
| |kx+3| | ||
|
| x2+9 |
k2x2+6kx+9＞x2+9．∴（1-k2）x2-6kx＜0，
①若k=0，则x2＜0，∴不等式解集为?；
②若-1＜k＜0，则
| 6k |
| 1-k2 |
| 6k |
| 1-k2 |
③若0＜k＜1，则0＜x＜
| 6k |
| 1-k2 |
| 6k |
| 1-k2 |
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合应用问题．偶函数的图象特点是在关于原点对称的区间上单调性相反；而奇函数的图象特点是在关于原点对称的区间上单调性相同．
练习册系列答案
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，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、[-2，1] |
| B、[-5，0] |
| C、[-5，1] |
| D、[-2，0] |