题目内容

已知数列{xn}满足x1=4，xn+1=，
（Ⅰ）求证：xn＞3；
（Ⅱ）求证：xn+1＜xn；
（Ⅲ）求数列{xn}的通项公式。
（Ⅰ） 证明：用数学归纳法证明
1）当n=1时，，所以结论成立；
2）假设n=k（n≥1）时结论成立，即，
则，
所以，
即n=k+1时，结论成立；
由1）2）可知对任意的正整数n，都有；
（Ⅱ）证明：，
因为，
所以，
所以。
（Ⅲ）解：，
，
所以，
又，
所以，
又，
令，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
由，
所以。
练习册系列答案
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10、已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，则下面正确的是（　　）
已知数列{xn}满足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，则x1=
 
．
数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
1339+a
1339+a
．
已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）计算x2，x3，x4的值；
（2）试比较xn与2的大小关系；
（3）设an=|xn-2|，Sn为数列{an}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-
2
2n
．
已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）证明：对任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）对于n∈N*，判断xn与xn+1的大小关系，并证明你的结论．

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