Question

2．设F是抛物线C：y²=4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|=8时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由弦长公式求得斜率，再由圆的弦长公式，可得所求值．

解答 解：y²=4x的焦点F（1，0），设直线AB：y=k（x-1），
代入抛物线的方程可得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，即有中点的横坐标为1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
由抛物线的弦长公式可得，|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=8，
解得k=±1，
即有r=4，d=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$=3，
再由圆的弦长公式可得，
与y轴相交所得弦长是2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要是弦长公式的运用，同时考查圆的弦长公式，属于中档题．