Question

22、数列{a_n}和{b_n}适合下列关系式a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，且a₁=a，b₁=b，求通项a_n和b_n．

Answer 1

分析：把题设中的等式相减，求得a_n-b_n=2a_n-1-b_n-1推断出数列{a_n-b_n}为等比数列，公比为2，进而求得数列{a_n-b_n}的通项公式，代入到a_n=5a_n-1-6b_n-1中，整理求得a_n=b_n+（a-b）2^n-1，进而根据a_n=5a_n-1-6b_n-1，求得b_n=-b_n-1+3（a-b）2^n-2，设c_n=b_n-（a-b）2^n-1，推断出c_n=-c_（n-1），判断出数列{c_n}为等比数列，根据首项和公比求得其通项公式，则b_n可得，进而利用a_n=b_n+（a-b）2^n-1求得a_n．

解答：解：∵a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，
两式相减得，a_n-b_n=2a_n-1-b_n-1
∴数列{a_n-b_n}为等比数列，公比为2
∴a_n-b_n=（a₁-b₁）2^n-1
=（a-b）2^n-1
∴a_n=b_n+（a-b）2^n-1
a_n-1=b_n-1+（a-b）2^n-2
∴b_n+（a-b）2^n-1=5[b_n-1+（a-b）2^n-2）]-6b_n-1
bn=-b_n-1+3（a-b）2^n-2
设c_n=b_n-（a-b）2^n-1，c₁=b₁-（a-b）=2b-a
c_n=-c_（n-1）
∴c_n=c₁（-1）^n-1=（2b-a）（-1）^n-1
即b_n-（a-b）2^n-1=c_n=（2b-a）（-1）^n-1
b_n=（a-b）2^n-1+（2b-a）（-1）^n-1
∴a_n=b_n+（a-b）2^n-1=（a-b）2ⁿ+（2b-a）（-1）^n-1
∴a_n=（a-b）2ⁿ+（2b-a）（-1）^n-1
bn=（a-b）2^n-1+（2b-a）（-1）^n-1

点评：本题主要考查了数列的递推式．通过递推式求数列的通项公式是高考中必考的内容，平时应多注意训练．