Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b_n}的第一项、第二项、第三项．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设数列{c_n}对任意的n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）根据等差数列的通项公式分别表示出第三项和第十一项，进而根据等差中项的性质建立等式求得d．进而根据等差数列的性质求得数列的通项公式．进而求得等差数列数列的第三项和第十一项，即数列{b_n}的第一项、第二项、第三项，进而求得首项和公比，则数列的通项公式可得．
（II）把a_n和a_n+1相减求得

cn

bn

=3，进而根据（1）中的b_n求得n≥2时的c_n，进而利用c₁=b₁×a₂求得c₁，进而综合可得数列{c_n}的通项公式，利用等比数列的求和公式求得前n项的和．

解答：解：（I）由已知（2+2d）²=2（2+10d）
∴d=3或d=0（舍）
数列{a_n}的通项公式a_n=3n-1；
∴b₂=a₃=8，b₃=a₁₁=32
∴公比为

8

2

=4，首项为2
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ，
（II）由

c1

b1

+

c2

b2

++

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

，
=an?

cn

bn

=an+1-an=3(n≥2）
∴c_n=3×2^2n-1（n≥2）
又c₁=b₁×a₂=10
∴cn=

10，(n=1) 3×22n-1，(n≥2)

所以数列{c_n}的前n项和Sn=10+

24(1-4n-1)

1-4

=2+22n+1

点评：本题主要考查了数列的求和问题及数列的通项公式．考查了学生演绎推理以及综合分析的能力．