Question

已知不等式x²-5mx-6m²≤0的解集为A，不等式ax²-x+12a-2＜0的解集为B，
（1）求A；    
（2）当m=1时，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）原不等式变形为：（x+m）（x-6m）≤0，
当m＞0时，A=[-m，6m]；当m=0时，A={0}；当m＜0时，A=[6m，-m]；…（5分）
（2）当m=1时，A=[-1，6]；∵A∩B≠∅，
即x∈[-1，6]时，不等式ax²-x+12a-2＜0有解，…（7分）
即（x²+12）a＜x+2有解，也就是a＜

x+2

x2+12

有解，则a＜(

x+2

x2+12

)max…（9分）
令t=x+2，∵x∈[-1，6]，∴t∈[1，8]，且x=t-2
∴

x+2

x2+12

=

t

(t-2)2+12

=

t

t2-4t+16

=

1

t+ 16 t -4

≤

1

2 t• 16 t -4

=

1

4

，
（当且仅当，即t=4时取等号），∴(

x+2

x2+12

)min=

1

4

，则a＜

1

4

，
故实数a的取值范围是（-∞，

1

4

）…（13分）