Question

二次函数f（x）满足且f（0）=1.

（1）求f（x）的解析式;

（2）在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

Answer 1

解： (1)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1     

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x     

即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1      ……………6分

(2)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立     即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立     

设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减     

故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1      …………12分