Question

已知点和圆：．

（Ⅰ）过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；
（Ⅱ）若的面积，且是圆内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数
的点称为整点），求出点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）方程为：或；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，不符合要求.因此可设直线的斜率为，根据点斜式写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）连结,求出圆与轴的两个交点.并连结,得到，因此要使，那么点必在经过点且与直线平行的直线上.结合点所在象限，可以求出为.
试题解析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，不符合要求；
因此设直线的斜率为，那么直线的方程为：.
所以圆心到直线的距离，又因为半径弦长为.
所以，解得：.
所以所求直线方程为：或；
（Ⅱ）连结，点满足,
过作直线的平行线．
∵
∴直线的方程分别为：

设点（且）
∴
解，得： 
∵且，在上对应的.
∴满足条件的点存在，共有2个，它们的坐标分别为：.