Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．
（Ⅰ） 求异面直线EF与BC所成角的大小；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 延长AD，FE交于Q，根据异面直线夹角的定义，根据BC∥AD，得∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，解△AQF可得答案．
（II）几何法：取AF的中点G，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，可证得∠DHG为二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
（II）向量法：以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．求出二面角A-BF-D中两个半平面的法向量，进而构造AB长的方程，解方程可得答案．
解答：解：（Ⅰ） 延长AD，FE交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即异面直线EF与BC所成角为30°…（7分）
（Ⅱ） 方法一：
设AB=x．取AF的中点G．由题意得
DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，
∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得
DG=．
在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，
∴GH=．
在直角△DGH中，DG=，GH=，得
DH=．
∵cos∠DHG==，得x=，
∴AB=．…（15分）
方法二：设AB=x．
以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则
F（0，0，0），A（-2，0，0），E（0，，0），D（-1，，0），B（-2，0，x），
∴=（1，-，0），=（2，0，-x）．
∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取=（0，1，0）．
设=（x₁，y₁，z₁）为平面BFD的法向量，则
∴可取=（，1，）．
∵cos＜，＞==，得x=，
∴AB=．
…（15分）
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是利用平移求出异面直线夹角的几何角，（2）中几何的关键是找出二面角的平面角，向量法的关键是构造空间坐标系，求出二面角A-BF-D中两个半平面的法向量