Question

如图所示的曲线是由部分抛物线和曲线“合成”的，直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，记点的横坐标为，其中．

（1）当时，求的值和点的坐标；
（2）当实数取何值时，？并求出此时直线的方程．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：解：（1）
（2）由题意可知，切线的斜率为，切线的方程表达式为，即，与联立方程组，整理得（①）．此时为点的横坐标．
直线与曲线相切于点，，解得（舍）或，点的坐标为．
，， ，，，则，．，．由（1）可知，．把代入点和点，解得，，所在直线的方程为．
点评：解决的关键是利用直线与曲线相切，联立方程组得到判别式等于零，进而得到m的值，公式得到点N的坐标，，对于角的相等的求解，一般结合斜率来完成，属于中档题。