Question

若幂函数y=f（x）图象经过点A（

1

4

，

1

2

），以下结论正确的是（　　）

A．f（2）＞f（3）

B．f（x）与g（x）=x^-1的图象有两个公共点

C．f（x）与h（x）=x²都是偶函数

D．f（x）＞lnx对x∈（0，+∞）总成立

Answer 1

分析：求出幂函数y=f（x）的解析式，依次判定A、B、C、D的正误即可．

解答：解：设幂函数y=f（x）=x^α（α∈R），图象过点A（

1

4

，

1

2

），
∴(

1

4

)α=

1

2

，∴α=

1

2

，
∴y=f（x）=x

1

2

=

x

（其中x≥0），
∴y=f（x）是定义域上的增函数，A中f（2）＞f（3）不正确；
f（x）=

x

与g（x）=x^-1的图象在第一象限内只有一个公共点，∴B不正确；
f（x）=

x

（其中x≥0）是非奇非偶的函数，∴C不正确；
设y=

x

-lnx（其中x≥0），则y，=

1

2

•

1

x

-

1

x

=

x -1

2x

，
当x∈（0，1）时，y，＜0，函数y是减函数；当x∈（1，+∞）时，y，＞0，函数y是增函数，
∴当x=1时，y有最小值y_min=1，∴y=

x

-lnx＞0在x∈（0，+∞）上总成立，∴D正确
故选：D．

点评：本题考查了求幂函数的解析式，根据解析式判定有关命题正误的问题，是基础题．