Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，侧面PDC为等边三角形，且与底面ABCD垂直，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥DM；
（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意取CD中点O，则AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得相关点的坐标，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=0可得；
（Ⅱ）设直线PC与平面DCM所成角为θ，由垂直关系可得法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，代入sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$＞|计算可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意取CD中点O，则AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，
分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，0），
C（-1，0，0），B（-2，$\sqrt{3}$，0），M（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\overrightarrow{PA}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DM}$=（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=0，∴$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{DM}$，∴PA⊥DM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DM}$=（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（-2，0，0），
设直线PC与平面DCM所成角为θ，平面DCM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-2x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-2x=0}\end{array}\right.$，解得x=0且y=-z，故可取$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（-1）^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（-1）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查空间中直线和平面的位置关系，建系并转化为向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．