题目内容
19．
如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点分别是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，其内切圆为圆G．（1）求椭圆C及圆G的标准方程；
（2）若点D是椭圆C上第一象限内的动点，直线B1D交线段A2B2于点E．
（i）求$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$的最大值；
（ii）设F（-1，0），是否存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由△A2B1B2是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，可得b=$\sqrt{3}$，$a=\sqrt{3}b$，即可得出椭圆C的标准方程．设内切圆的半径为r，则$r=\sqrt{3}tan3{0}^{°}$，即可得出内切圆G的标准方程．
（2））（i）设直线B1D的方程为：y=kx-$\sqrt{3}$，$（k＞\frac{\sqrt{3}}{3}）$．与椭圆的方程联立解得D，可得|DB1|．直线A2B2的方程为：$\frac{x}{3}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，与y=kx-$\sqrt{3}$联立解得E．可得|EB1|．
可得$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$=$\frac{3{k}^{2}+\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$，变形利用基本不等式的性质即可得出．
（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$．当切点为点O时，由$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x-3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．证明即可．
解答 解：（1）∵△A2B1B2是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，∴b=$\sqrt{3}$，$a=\sqrt{3}b$=3，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
设内切圆的半径为r，则$r=\sqrt{3}tan3{0}^{°}$=1．
∴内切圆G的标准方程为（x-1）2+y2=1．
（2）（i）设直线B1D的方程为：y=kx-$\sqrt{3}$，$（k＞\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=9}\\{y=kx-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，化为$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}-6\sqrt{3}kx=0$，
解得D$（\frac{6\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}，\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}）$，
∴|DB1|=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$．
直线A2B2的方程为：$\frac{x}{3}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得E$（\frac{6}{1+\sqrt{3}k}，\frac{3k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}）$．
∴|EB1|=$\sqrt{（\frac{6}{1+\sqrt{3}k}）^{2}+（\frac{3k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+\sqrt{3}k}$．
∴$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$=$\frac{3{k}^{2}+\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$=$1+\frac{1}{（\sqrt{3}k-1）+\frac{2}{\sqrt{3}k-1}+2}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{（\sqrt{3}k-1）•\frac{2}{\sqrt{3}k-1}}+2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，当且仅当$k=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$时取等号．
∴$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$．
当切点为点O时，由$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．
其圆M的方程为：（x-3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．
下面证明：设N$（3+\sqrt{10}cosθ，\sqrt{10}sinθ）$，
则|NF|2-2|NT|2
=|NF|2-2（|NG|2-1）
=$（4+\sqrt{10}cosθ）^{2}+10si{n}^{2}θ$-2$[（2+\sqrt{10}cosθ）^{2}+10si{n}^{2}θ-1]$
=16+10+8$\sqrt{10}$cosθ-2$（13+4\sqrt{10}cosθ）$
=0，
∴$|NF|=\sqrt{2}|NT|$．
因此存在以椭圆C上的点M（3，0）为圆心的圆M，其圆M的方程为：（x-3）2+y2=10，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线交点问题、两点之间的距离公式、圆的参数方程应用，考查了探究问题解决方法、推理能力与计算能力，属于难题．
口算能手系列答案| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
