题目内容

设椭圆C： $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，右焦点到右准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过E（ $数学公式$ ，0）作倾角为锐角的直线l交椭圆于A，B两点，若 $数学公式$ ，求l的方程．

解：（1）∵椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点到右准线的距离为3
∴ $\text{[math]}$ ，∴c=1，a=2
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）设l：x=λy+ $\text{[math]}$ （λ＞0），代入椭圆方程，消去x可得（3λ²+4）y²+9λy- $\text{[math]}$ =0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴y₁=-3y₂，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²∴ $\text{[math]}$
∵λ＞0，∴ $\text{[math]}$
∴l的方程为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点到右准线的距离为3，建立方程组，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（2）设l的方程代入椭圆方程，消去x可得一元二次方程，利用韦达定理及 $\text{[math]}$ ，即可求得l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．