Question

（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

Answer 1

（Ⅰ）（i）5
（ii）
（Ⅱ）证明见解析。

本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分。
（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为，则，
得到，故白球有5个。
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是

	0	1	2	3

的数学期望
。
（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故。
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
。
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于。
故袋中红球个数最少。