Question

已知A、B是椭圆上的两点，F₂是椭圆的右焦点，如果|AF₂|+|BF₂|=，AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 ________．

Answer 1

分析：由椭圆的第一定义求出|AF₁|+|BF₁|，利用椭圆的第二定义及梯形中位线的性质求出a的值，从而得到椭圆方程．
解答：∵|AF₂|+|BF₂|=，∴2a-|AF₁|+2a-|BF₁|=，∴|AF₁|+|BF₁|=a，
记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A₁、B₁，M₁，
由椭圆第二定义知：|AF₁|=e|AA₁|，|BF₁|=e|BB₁|，于是有：e（|AA₁|+|BB₁|）=，而e=，
∴|AA₁|+|BB₁|=3a∴2|MM₁|=3a，又|MM₁|=，∴a=1，故椭圆方程为 x²+．
故答案为 x²+．
点评：本题考查椭圆的第一定义、第二定义，椭圆的标准方程，以及梯形的中位线的性质．