题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系中，坐标原点为
，点
，
、
两点分别在
轴和
轴上运动，并且满足
，
，动点
的轨迹为曲线
.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）作曲线的任意一条切线（不含轴）
，直线
与切线相交于
点，直线
与切线、轴分别相交于
点与
点，试探究
的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
（1）先设
，
，
，求出
，
的坐标，根据
，得到
，
，再根据
，即可求出结果；
（2）先由题意设切线
的方程为
，与抛物线方程联立，根据判别式为0，得到
，再根据题设及直线方程易得
，
，
，进而可得出
的结果.
（1）设，，，
则
，
，
∵，
∴
，
∴，，
∴
，
，
又，
∴，
∴
点的轨迹方程为.
（2）的值为定值2.
求解如下：由题可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，代入
可得
，
由
可得.
由题设及直线方程易得，，，
.
又，
∴
，
∴
为定值.
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