Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且2Sn=3an-2(n∈N*)．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）若b_n=log₃（S_n+1），求数列{b_2n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2S_n=3a_n-2可求得a₁=2；当n≥2时，a_n=3a_n-1，从而可知数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a_n和S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=3ⁿ-1，从而可得b_n=n，b_2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b_2n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵2S_n=3a_n-2，
∴n=1时，2S₁=3a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-2，
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴a_n=2•3^n-1，
S_n=

2(1-3n)

1-3

=3ⁿ-1，
（Ⅱ）∵a_n=2•3^n-1，S_n=3ⁿ-1，
∴b_n=log₃（S_n+1）=log₃3ⁿ=n，
∴b_2n=2n，
∴T_n=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n²+n．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．