Question

袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从袋中同时取出2个球．
（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；
（2）在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合m+n≤40的所有数组（m，n）．

Answer 1

分析：对于（1）首先设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍，k为整数．然后分别计算出取出2个球是红球的概率和取出的球是一红一白2个球的概率，列出关系式，判断m的奇偶性即可．
对于（2）在m，n的数组中，分别求出取出的球是同色的概率和不同色的概率，然后相等得到关系式∴m²-m+n²-n-2mn=0，又由m+n≤40，求出可能的组数即可得到答案．

解答：解：（1）设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍（k为整数）
则有

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

∴

m(m-1)

2

=kmn
即m=2kn+1∵k∈Z，n∈Z，
即m为奇数得证．
（2）由题意，有

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
∴

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=mn
∴m²-m+n²-n-2mn=0
即（m-n）²=m+n，∵m≥n≥2，∴m+n≥4，
∴4≤m-n≤

40

＜7，m-n的取值只可能是2，3，4，5，6
相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，
∴

m=3 n=1

或

m=6 n=3

或

m=10 n=6

或

m=15 n=10

或

m=21 n=15

，
注意到m≥n≥2
∴（m，n）的数组值为（6，3），（10，6），（15，10），（21，15）．

点评：此题主要考查排列组合等简单的计数问题，对学生灵活应用能力要求较高，题中涵盖知识点较多且有一定的计算量，属于中档题目．